Сколько трехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Для того чтобы найти количество трехзначных чисел, делящихся на 5, из цифр 0, 1, 3, 5, 7, нужно учесть несколько условий.

1. Число должно делиться на 5: Это означает, что последняя цифра числа должна быть либо 0, либо 5. Следовательно, последняя цифра числа может быть только 0 или 5.

2. Число не должно содержать одинаковых цифр: Это ограничение говорит о том, что каждая цифра в числе должна быть уникальной.

Теперь разберемся поэтапно, как можно выбрать цифры для каждого разряда числа.

Шаг 1. Выбор последней цифры

Поскольку число должно делиться на 5, последняя цифра может быть только 0 или 5. Таким образом, у нас есть два возможных выбора для последней цифры: 0 или 5.

Шаг 2. Выбор первой цифры

Первая цифра не может быть 0 (так как число должно быть трехзначным), и она также должна быть отличной от последней цифры. Если последняя цифра 5, то первая цифра может быть любая из 1, 3, 7 (то есть 3 варианта). Если последняя цифра 0, то первая цифра может быть любая из 1, 3, 5, 7 (то есть 4 варианта).

Шаг 3. Выбор второй цифры

Вторая цифра может быть любой из оставшихся цифр, то есть такой, которая не использовалась в первой и последней цифре. Например, если в первой и последней цифре уже использованы 5 и 3, то вторая цифра будет выбрана из оставшихся цифр.

Подсчитаем количество вариантов для каждого случая:

1. Если последняя цифра — 5:

   • Первая цифра может быть из множества {1, 3, 7} — всего 3 варианта.

   • Вторая цифра выбирается из оставшихся 4 цифр, исключая первую и последнюю цифры — всего 4 варианта.
     Таким образом, количество чисел в этом случае будет:
     $3 \times 4 = 12$.

2. Если последняя цифра — 0:

   • Первая цифра может быть из множества {1, 3, 5, 7} — всего 4 варианта.

   • Вторая цифра выбирается из оставшихся 4 цифр, исключая первую и последнюю цифры — всего 4 варианта.
     Таким образом, количество чисел в этом случае будет:
     $4 \times 4 = 16$.

Итоговое количество

Суммируя все возможные варианты, получаем общее количество таких чисел:
$12 + 16 = 28$.

Ответ: можно составить 28 различных трехзначных чисел, делящихся на 5, из цифр 0, 1, 3, 5, 7, при условии, что все цифры в числе различны.