Упростить выражение: sin(X)sin(2X) - sin(3X) - cos(X)cos(2X)

Для упрощения выражения $\sin(X) \sin(2X) - \sin(3X) - \cos(X) \cos(2X)$, применим тригонометрические идентичности.

1. Используем формулы для произведений синусов и косинусов:

   • $\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$

   • $\cos(A) \cos(B) = \frac{1}{2} [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$

   Применим их к каждому произведению в выражении:

   • Для $\sin(X) \sin(2X)$:

     $$\sin(X) \sin(2X) = \frac{1}{2} [\cos(X - 2X) - \cos(X + 2X)] = \frac{1}{2} [\cos(-X) - \cos(3X)]$$

     Поскольку $\cos(-X) = \cos(X)$, это выражение становится:

     $$\frac{1}{2} [\cos(X) - \cos(3X)]$$

   • Для $\cos(X) \cos(2X)$:

     $$\cos(X) \cos(2X) = \frac{1}{2} [\cos(X - 2X) + \cos(X + 2X)] = \frac{1}{2} [\cos(-X) + \cos(3X)]$$

     Опять-таки, $\cos(-X) = \cos(X)$, так что:

     $$\frac{1}{2} [\cos(X) + \cos(3X)]$$

2. Подставляем эти результаты в исходное выражение:

   $$\sin(X) \sin(2X) - \sin(3X) - \cos(X) \cos(2X) = \frac{1}{2} [\cos(X) - \cos(3X)] - \sin(3X) - \frac{1}{2} [\cos(X) + \cos(3X)]$$

3. Упрощаем:

   Собираем подобные слагаемые. В начале заметим, что $\cos(X)$ и $\cos(3X)$ появляются как положительные, так и отрицательные элементы:

   $$= \frac{1}{2} \cos(X) - \frac{1}{2} \cos(3X) - \sin(3X) - \frac{1}{2} \cos(X) - \frac{1}{2} \cos(3X)$$

   Объединяем одинаковые слагаемые:

   $$= \left( \frac{1}{2} \cos(X) - \frac{1}{2} \cos(X) \right) + \left( -\frac{1}{2} \cos(3X) - \frac{1}{2} \cos(3X) \right) - \sin(3X)$$ $$= 0 - \cos(3X) - \sin(3X)$$

   В итоге упрощенное выражение:

   $$- \cos(3X) - \sin(3X)$$