Один из корней уравнения \(5x^2 - 2x + 3p = 0\) равен 1. Найдите второй корень.

Рассмотрим уравнение $5x^2 - 2x + 3p = 0$, где один из корней равен $x_1 = 1$. Необходимо найти второй корень этого уравнения.

Для начала используем теорему Виета, которая утверждает, что для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, корни $x_1$ и $x_2$ связаны следующими выражениями:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае коэффициенты уравнения $5x^2 - 2x + 3p = 0$ следующие: $a = 5$, $b = -2$, $c = 3p$.

По теореме Виета:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{-2}{5} = \frac{2}{5}$

2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{3p}{5}$

Так как нам известно, что один из корней $x_1 = 1$, подставим это значение в формулы:

1. $1 + x_2 = \frac{2}{5}$

   Из этого находим $x_2 = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}$.

2. Проверим с помощью второго уравнения:

   $1 \cdot x_2 = \frac{3p}{5}$, то есть $x_2 = \frac{3p}{5}$.

Теперь приравняем оба значения для $x_2$:

$-\frac{3}{5} = \frac{3p}{5}$

Из этого находим, что $p = -1$.

Таким образом, второй корень уравнения равен $x_2 = -\frac{3}{5}$.