Решите уравнение: sinX - cos2X = 0

Для решения уравнения $\sin(x) - \cos(2x) = 0$ используем несколько тригонометрических преобразований.

1. Начнем с того, что выразим $\cos(2x)$ через $\sin(x)$ или $\cos(x)$. Существует формула для $\cos(2x)$ в терминах $\cos(x)$ и $\sin(x)$:

   $$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$\sin(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 0$$

2. Упростим уравнение:

   $$\sin(x) - 1 + 2\sin^2(x) = 0$$

   Перепишем его в стандартной форме:

   $$2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0$$

3. Теперь у нас квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Обозначим $y = \sin(x)$, тогда уравнение принимает вид:

   $$2y^2 + y - 1 = 0$$

4. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 2$, $b = 1$, и $c = -1$. Подставим эти значения в формулу:

   $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}$$ $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$$ $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}$$ $$y = \frac{-1 \pm 3}{4}$$

5. Таким образом, получаем два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

6. Теперь, вернемся к $\sin(x)$. Мы имеем два возможных значения:

   $$\sin(x) = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \sin(x) = -1$$

7. Рассмотрим оба случая:

   • Если $\sin(x) = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   • Если $\sin(x) = -1$, то $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения: