Найти модуль разности корней уравнения |2x + 3| = |1 - x|

Для решения уравнения $|2x + 3| = |1 - x|$, нужно рассмотреть несколько случаев в зависимости от знаков выражений внутри модулей. Модули обозначают, что внутри выражений могут быть как положительные, так и отрицательные значения, и для каждого случая нужно решить уравнение по-разному.

Шаг 1: Разбор на случаи

Модуль — это функция, которая зависит от знака числа. Поэтому у нас будут 4 возможных случая, которые соответствуют различным знакам выражений $2x + 3$ и $1 - x$.

Случай 1: $2x + 3 \geq 0$ и $1 - x \geq 0$

Это означает, что:

• $2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$,

• $1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$.

Таким образом, $x$ должно быть в интервале $[- \frac{3}{2}, 1]$.

В этом случае модуль можно убрать, и уравнение примет вид:

Решим это уравнение:

Это решение лежит в интервале $[- \frac{3}{2}, 1]$, поэтому оно подходит.

Случай 2: $2x + 3 \geq 0$ и $1 - x < 0$

Это означает, что:

• $2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$,

• $1 - x < 0 \Rightarrow x > 1$.

Таким образом, $x > 1$.

В этом случае модуль можно упростить, и уравнение примет вид:

Но $x = -4$ не входит в интервал $x > 1$, поэтому это решение не подходит.

Случай 3: $2x + 3 < 0$ и $1 - x \geq 0$

Это означает, что:

• $2x + 3 < 0 \Rightarrow x < -\frac{3}{2}$,

• $1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$.

Таким образом, $x < -\frac{3}{2}$.

В этом случае модуль можно упростить, и уравнение примет вид:

Решение $x = -4$ лежит в интервале $x < -\frac{3}{2}$, поэтому оно подходит.

Случай 4: $2x + 3 < 0$ и $1 - x < 0$

Это означает, что:

• $2x + 3 < 0 \Rightarrow x < -\frac{3}{2}$,

• $1 - x < 0 \Rightarrow x > 1$.

Эти условия противоречат друг другу, поэтому нет решений в этом случае.

Шаг 2: Результаты

Из всех случаев решения, подходящие решения — это $x = -\frac{2}{3}$ и $x = -4$.

Шаг 3: Модуль разности корней

Теперь найдём разность корней уравнения: