Установите взаимное расположение графиков линейных функций,не выполняя построений а)у=-2х и у=2х+3 б)у=-4х и у=17-4х

Для того чтобы определить взаимное расположение графиков линейных функций, необходимо рассмотреть их уравнения и проанализировать наклон (коэффициент при $x$) и пересечение с осью $y$ (свободный член).

а) $y = -2x$ и $y = 2x + 3$

1. Первая функция: $y = -2x$.

   • Наклон этой прямой равен $-2$, что означает, что график убывает (с каждым увеличением $x$ на 1, $y$ уменьшается на 2).

   • Пересечение с осью $y$ — это значение $y$, когда $x = 0$. В данном случае при $x = 0$, $y = 0$.

2. Вторая функция: $y = 2x + 3$.

   • Наклон этой прямой равен $2$, что означает, что график возрастает (с каждым увеличением $x$ на 1, $y$ увеличивается на 2).

   • Пересечение с осью $y$ — при $x = 0$, $y = 3$.

Местоположение графиков:

• Графики этих двух прямых имеют разные наклоны ($-2$ и $2$), значит, они не параллельны.

• Прямые пересекаются, так как имеют разные свободные члены и наклоны.

• Пересечение происходит в точке, которую можно найти, приравняв обе функции:

  $$-2x = 2x + 3$$ $$-4x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{4}$$

  Подставив $x = -\frac{3}{4}$ в одно из уравнений, например, в $y = -2x$:

  $$y = -2 \times \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{3}{2}$$

  Таким образом, точка пересечения: $\left( -\frac{3}{4}, \frac{3}{2} \right)$.

б) $y = -4x$ и $y = 17 - 4x$

1. Первая функция: $y = -4x$.

   • Наклон прямой: $-4$, то есть график убывает.

   • Пересечение с осью $y$: $y = 0$, когда $x = 0$.

2. Вторая функция: $y = 17 - 4x$.

   • Наклон прямой: $-4$, то есть график также убывает.

   • Пересечение с осью $y$: $y = 17$, когда $x = 0$.

Местоположение графиков:

• Обе прямые имеют одинаковый наклон ($-4$), значит, они параллельны.

• Так как свободные члены у них разные (0 и 17), эти прямые не совпадают.

• Параллельные прямые никогда не пересекаются.

Итог:

• а) Прямые $y = -2x$ и $y = 2x + 3$ пересекаются в точке $\left( -\frac{3}{4}, \frac{3}{2} \right)$.

• б) Прямые $y = -4x$ и $y = 17 - 4x$ параллельны и не пересекаются.