Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=3^x, y=0, x=-1, x=2

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $y = 3^x$, $y = 0$, $x = -1$, и $x = 2$, можно воспользоваться определённым интегралом. Площадь между кривыми на интервале от $x = -1$ до $x = 2$ вычисляется следующим образом:

1. Построение границ области:

   • Нижняя граница области: $y = 0$, это ось $x$.

   • Верхняя граница области: $y = 3^x$, это экспоненциальная функция.

   • Левая граница области: $x = -1$.

   • Правая граница области: $x = 2$.

2. Площадь области: Площадь можно найти с помощью интеграла от функции $3^x$ на интервале от $x = -1$ до $x = 2$. Площадь будет равна:

3. Вычисление интеграла:

   Для вычисления интеграла функции $3^x$ используем стандартное правило для интегрирования экспоненциальных функций. Интеграл от $3^x$ равен:

4. Подстановка пределов интегрирования:

   Теперь вычислим интеграл на интервале от $-1$ до $2$:

Подставляем пределы:

5. Упрощение выражения:

   Теперь подставим числовые значения:

Приводим к общему знаменателю:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

Это и есть окончательный ответ.