В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=10, cosA=5/13. Найдите высоту СН.

Задача заключается в нахождении высоты $CH$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, где $AC = BC$, $AB = 10$, а $\cos A = \frac{5}{13}$.

1. Используем данные о косинусе угла $A$:
   Из условия задачи нам известно, что $\cos A = \frac{5}{13}$. Напоминаем, что для любого угла $\alpha$ выполняется тождество:

   $$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$

   Тогда $\sin A$ можно найти как:

   $$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

2. Используем теорему косинусов для нахождения длины основания $AC$:
   Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AC = BC$, и можно применить теорему косинусов для стороны $AB$:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A.$$

   Подставляем известные значения:

   $$10^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AC \cdot \frac{5}{13}.$$

   Упростим уравнение:

   $$100 = 2AC^2 - \frac{10}{13} AC^2.$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$100 = \left(2 - \frac{10}{13}\right) AC^2 = \frac{26}{13} AC^2 - \frac{10}{13} AC^2 = \frac{16}{13} AC^2.$$

   Умножаем обе части на 13:

   $$1300 = 16 AC^2,$$ $$AC^2 = \frac{1300}{16} = 81.25,$$ $$AC = \sqrt{81.25} \approx 9.$$

3. Находим высоту $CH$:
   В равнобедренном треугольнике высота $CH$ делит основание $AB$ пополам. Таким образом, $AH = HB = \frac{AB}{2} = 5$.

   Далее используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $AHC$:

   $$AC^2 = AH^2 + CH^2.$$

   Подставляем известные значения:

   $$9^2 = 5^2 + CH^2,$$ $$81 = 25 + CH^2,$$ $$CH^2 = 81 - 25 = 56,$$ $$CH = \sqrt{56} \approx 7.48.$$