4x - 5√x + 1 = 0 решите уравнение

Для решения уравнения $4x - 5\sqrt{x} + 1 = 0$, можно ввести замену, чтобы упростить его.

1. Вводим замену. Пусть $y = \sqrt{x}$, тогда $x = y^2$. Теперь уравнение примет вид:

   $$4y^2 - 5y + 1 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение. Полученное уравнение — это обычное квадратное уравнение относительно $y$. Мы можем решить его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 4$, $b = -5$, $c = 1$.

   Подставляем коэффициенты в формулу:

   $$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$$ $$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}$$ $$y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8}$$ $$y = \frac{5 \pm 3}{8}$$

   Таким образом, у нас есть два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ $$y = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

3. Возвращаемся к переменной $x$. Напоминаем, что $y = \sqrt{x}$, то есть:

   • Если $y = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, и $x = 1$.

   • Если $y = \frac{1}{4}$, то $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$, и $x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$.

4. Проверка корней. Подставим найденные значения $x = 1$ и $x = \frac{1}{16}$ в исходное уравнение:

   • Для $x = 1$:

     $$4(1) - 5\sqrt{1} + 1 = 4 - 5 + 1 = 0$$

     Это решение верно.

   • Для $x = \frac{1}{16}$:

     $$4 \left( \frac{1}{16} \right) - 5\sqrt{\frac{1}{16}} + 1 = \frac{4}{16} - 5 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} + 1 = 0$$