При каком значении a система уравнений 3x + ay = 4 и 6x - 2y = 8 не имеет решений?

Система

не будет иметь решений только в одном случае: когда прямые, задаваемые этими уравнениями, параллельны, но не совпадают.
То есть коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены — нет.

Запишем это аккуратно.

1. Смотрим на коэффициенты при $x$ и $y$:

Сначала найдём общий множитель (коэффициент пропорциональности) по $x$:
из $6 = \lambda \cdot 3$ получаем $\lambda = 2$.

Теперь требуем, чтобы коэффициенты при $y$ были пропорциональны с тем же $\lambda$:

То есть только при $a = -1$ коэффициенты при $x$ и $y$ становятся пропорциональными, а значит прямые либо параллельны, либо совпадают.

2. Проверяем свободные члены при $a = -1$. Подставим $a = -1$ в первое уравнение:

Второе уравнение:

Проверим, не является ли второе уравнение просто удвоенным первым:
умножаем первое уравнение на 2:

Получили точно второе уравнение. Значит, при $a = -1$ оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
В этом случае система имеет бесконечно много решений (все точки этой прямой), а не «нет решений».

3. Что при других $a$?

Если $a \neq -1$, то коэффициенты при $x$ и $y$ не пропорциональны, значит прямые пересекаются в одной точке, то есть система имеет единственное решение.

Итог:

• При $a = -1$ — бесконечно много решений (прямые совпадают).

• При $a \neq -1$ — одно решение (прямые пересекаются).

• Значения $a$, при котором система не имеет решений, не существует.

Ответ:
Ни при каком значении $a$ система не становится несовместной; такого $a$ не существует.