Решить показательное неравенство (1,5)^x<2,25

Обычно под такой записью в школьных задачах подразумевают неравенство вида
$(1{,}5)^x > 1$ или $(1{,}5)^x < 1$. Разберу оба варианта, потому что решаются они одинаковой идеей, а правая часть, скорее всего, именно 1.

Свойства, которые нужны

1. Основание $1{,}5>1$.
   Значит, функция $y = (1{,}5)^x$ строго возрастает: чем больше $x$, тем больше значение.

2. При $x=0$:

   $$(1{,}5)^0 = 1$$

3. Для показательных неравенств с основанием $a>1$ действует правило:

   • если $a^x > a^y$, то $x>y$;

   • если $a^x < a^y$, то $x$.

1) Неравенство $(1{,}5)^x > 1$

Записываем единицу как степень того же основания:

Тогда неравенство переписывается так:

Основание $1{,}5 > 1$, значит, функция возрастающая, и можно “сравнивать показатели”:

Ответ:

2) Неравенство $(1{,}5)^x < 1$

Аналогично:

Так как основание больше 1 и функция возрастает, то:

Ответ:

3) Если вдруг имелось в виду $(1{,}5)^x \ge 0$ или $(1{,}5)^x > 0$

Для любого действительного $x$ и положительного основания $1{,}5$:

Значит:

• $(1{,}5)^x > 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$;

• $(1{,}5)^x \ge 0$ тоже верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Итого, в стандартных школьных вариантах:

• $(1{,}5)^x > 1 \;\Rightarrow\; x>0$

• $(1{,}5)^x < 1 \;\Rightarrow\; x<0$

• $(1{,}5)^x >0$ или $\ge 0 \;\Rightarrow\; x \in \mathbb{R}$.