Решить неравенство: х² - 10x < 0

Решим неравенство

Шаг 1. Вынесем общий множитель

В левой части можно вынести $x$ за скобку:

Тогда неравенство перепишется так:

Шаг 2. Найдём нули множителей

Рассмотрим, при каких $x$ каждый множитель равен нулю:

1. $x = 0$;

2. $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$.

Эти точки $x = 0$ и $x = 10$ — границы, на которых выражение обращается в ноль.

Шаг 3. Определим знаки на интервалах

Числовая прямая делится этими точками на три промежутка:

1. $(-\infty; 0)$

2. $(0; 10)$

3. $(10; +\infty)$

Проверим знак произведения $x(x-10)$ на каждом из интервалов.

1) Интервал $(-\infty; 0)$

Возьмём, например, $x = -1$:

• $x = -1 < 0$ → первый множитель отрицательный;

• $x - 10 = -1 - 10 = -11 < 0$ → второй множитель тоже отрицательный.

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

значит, на интервале $(-\infty; 0)$ выражение $x(x - 10) > 0$, а нам нужно $< 0$. Этот промежуток не подходит.

2) Интервал $(0; 10)$

Возьмём $x = 5$:

• $x = 5 > 0$ → первый множитель положительный;

• $x - 10 = 5 - 10 = -5 < 0$ → второй множитель отрицательный.

Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно:

значит, на интервале $(0; 10)$ выполняется

Этот интервал нам подходит.

3) Интервал $(10; +\infty)$

Возьмём $x = 11$:

• $x = 11 > 0$ → первый множитель положительный;

• $x - 10 = 11 - 10 = 1 > 0$ → второй множитель тоже положительный.

Произведение двух положительных чисел положительно:

значит, на интервале $(10; +\infty)$ выполняется $x(x - 10) > 0$, а нам нужно $< 0$. Этот промежуток не подходит.

Шаг 4. Учитываем строгий знак неравенства

У нас неравенство строгое:

а значит точки, в которых выражение равно нулю (то есть $x = 0$ и $x = 10$), не входят в решение.

Ответ

Решением неравенства

является интервал:

или в виде промежутка: