решите систему xy-x=4;2x+y=7

Ответы на вопрос

Отвечает Ліщинська Алінка.

Решим систему:

\begin{cases} xy - x = 4 \\ 2x + y = 7 \end{cases}

Шаг 1. Упростим первое уравнение

Первое уравнение:

xy - x = 4

Вынесем $x$ за скобки:

x(y - 1) = 4

Шаг 2. Выразим $y$ из второго уравнения

Второе уравнение:

2x + y = 7

Выразим отсюда $y$ :

y = 7 - 2x

Шаг 3. Подставим $y$ в первое уравнение

Подставляем $y = 7 - 2x$ в уравнение $x(y-1) = 4$ :

x\big((7 - 2x) - 1\big) = 4

Сначала упростим выражение в скобках:

(7 - 2x) - 1 = 6 - 2x

Тогда:

x(6 - 2x) = 4

Раскроем скобки:

6x - 2x^2 = 4

Перенесём всё в одну сторону:

-2x^2 + 6x - 4 = 0

Умножать или делить можно на любое ненулевое число. Удобно разделить на $-2$ , чтобы избавиться от минусов:

x^2 - 3x + 2 = 0

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Решаем:

x^2 - 3x + 2 = 0

Разложим на множители. Подберём числа, чья сумма равна $-3$ , а произведение — $2$ . Это $-1$ и $-2$ :

x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0

Отсюда возможны два варианта:

Шаг 5. Найдём соответствующие $y$

Используем формулу $y = 7 - 2x$ .

y = 7 - 2 \cdot 1 = 7 - 2 = 5

Пара $(x, y) = (1, 5)$ .

Проверка в первом уравнении:

xy - x = 1 \cdot 5 - 1 = 5 - 1 = 4 \quad \text{— верно.}

y = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3

Пара $(x, y) = (2, 3)$ .

Проверка в первом уравнении:

xy - x = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \quad \text{— верно.}

Обе пары удовлетворяют системе.

Ответ:

Система имеет два решения:

(x, y) = (1, 5) \quad \text{и} \quad (x, y) = (2, 3).

Ответы на вопрос