Log 1-x ( 3-x) = log3-x (1-x)

Уравнение, которое нужно решить, выглядит так:

Для начала, обратим внимание на тот факт, что у нас здесь логарифмы с разными основаниями и аргументами. Нам нужно решить это уравнение.

Шаг 1. Преобразование уравнения

Первым шагом попробуем преобразовать логарифмы в более удобную форму, используя свойство логарифмов о смене основания:

Используем это для каждого логарифма в нашем уравнении.

1. Для логарифма с основанием $1 - x$:

2. Для логарифма с основанием $3 - x$:

Теперь у нас есть уравнение:

Шаг 2. Умножение обеих частей уравнения

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $\log(1-x) \cdot \log(3-x)$:

Шаг 3. Извлечение логарифмов

Теперь, когда у нас есть квадраты логарифмов, мы можем воспользоваться тем, что логарифмы равны, если их аргументы равны. Получаем:

Шаг 4. Разрешение квадратов

Раскроем обе стороны уравнения:

Шаг 5. Упростим уравнение

Упростим его, вычтя $x^2$ с обеих сторон:

Теперь перенесем все члены, содержащие $x$, в одну сторону, а постоянные — в другую:

Шаг 6. Решение для $x$

Теперь решим для $x$:

Шаг 7. Проверка

Чтобы убедиться, что решение $x = 2$ подходит, подставим его в исходное уравнение:

1. Проверим аргументы логарифмов:

   • $1 - x = 1 - 2 = -1$ (недопустимо, так как логарифм от отрицательного числа не существует)

Таким образом, решение $x = 2$ является недопустимым.

Шаг 8. Ищем другие значения

Так как у нас получился неверный результат, следует еще раз внимательно проверить возможные значения $x$, при которых логарифмы определены.

Таким образом, можно заключить, что данное уравнение не имеет решения в области действительных чисел.