Найдите на числовой окружности точку 31пи/4

Чтобы найти точку на числовой окружности, соответствующую углу $\frac{31\pi}{4}$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим полный оборот: Полный оборот на окружности равен $2\pi$. Для того чтобы легче работать с углами, нужно привести угол $\frac{31\pi}{4}$ к эквивалентному углу в пределах одного полного оборота.

2. Сократим угол относительно $2\pi$: Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота, необходимо разделить угол на $2\pi$ и оставить остаток. Для этого нужно вычислить, сколько раз $2\pi$ помещается в $\frac{31\pi}{4}$.

   Разделим $\frac{31\pi}{4}$ на $2\pi$:

   $$\frac{31\pi}{4} \div 2\pi = \frac{31\pi}{4} \times \frac{1}{2\pi} = \frac{31}{8}$$

   Это значит, что угол $\frac{31\pi}{4}$ содержит 3 полных оборота (так как $31 \div 8 = 3$ с остатком 7), и остаток будет равен $\frac{7\pi}{4}$.

3. Приведем остаток в удобный вид: Оставшийся угол $\frac{7\pi}{4}$ — это угол, который нам нужно рассматривать, так как он лежит в пределах одного полного оборота.

4. Приведем угол $\frac{7\pi}{4}$ к стандартному положению: Угол $\frac{7\pi}{4}$ больше $2\pi$, поэтому можно вычесть $2\pi$, чтобы получить угол, находящийся в интервале от $0$ до $2\pi$.

   $$\frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$$

   Угол $-\frac{\pi}{4}$ означает, что точка находится в четвертой четверти, на угле $\frac{\pi}{4}$, но с отрицательным направлением (по часовой стрелке).

Таким образом, точка, соответствующая углу $\frac{31\pi}{4}$, будет находиться на числовой окружности на том же месте, что и точка, соответствующая углу $-\frac{\pi}{4}$. Это точка на окружности, соответствующая углу $\frac{\pi}{4}$ в четвертой четверти.