Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета (в данном случае катета длиной 4 см), нужно рассчитать площадь боковой поверхности и площадь оснований (которые будут кругами).

1. Рассчитаем гипотенузу треугольника:
   Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, гипотенуза (по теореме Пифагора) будет равна:

   $$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.$$

2. Вращение вокруг большего катета:
   При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета длиной 4 см, будет образовано конусное тело.

3. Площадь боковой поверхности:
   Для нахождения площади боковой поверхности конуса используем формулу для боковой поверхности:

   $$S_{\text{бок}} = \pi r l,$$

   где $r$ — радиус основания (в данном случае это длина меньшего катета 3 см), а $l$ — образующая конуса, которая равна гипотенузе треугольника (5 см). Таким образом:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \text{ см}^2.$$

4. Площадь основания:
   Основание конуса — это круг с радиусом 3 см. Площадь основания можно найти по формуле для площади круга:

   $$S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ см}^2.$$

5. Полная площадь поверхности:
   Площадь полной поверхности тела будет равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \text{ см}^2.$$

   Приближенно:

   $$S_{\text{полная}} \approx 24 \times 3.14 = 75.36 \text{ см}^2.$$

Таким образом, площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета, составляет примерно 75.36 см².