Решите неравенство -x² - x + 12 > 0.

Решим неравенство $-x^2 - x + 12 > 0$.

1. Приведем неравенство к стандартному виду:

   $-x^2 - x + 12 > 0.$

   Умножим обе части неравенства на $-1$, но при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

   $x^2 + x - 12 < 0.$

2. Решим квадратное неравенство $x^2 + x - 12 < 0$.

   Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта.

   Дискриминант:

   $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.$

   Корни уравнения:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}.$

   Таким образом, корни уравнения:

   $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3,$
   $x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4.$

3. Определим знак выражения $x^2 + x - 12$ на промежутках, образованных корнями.

   У нас есть корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Эти корни делят ось $x$ на три промежутка:

   • $(-∞, -4)$,

   • $(-4, 3)$,

   • $(3, ∞)$.

   Рассмотрим знак выражения $x^2 + x - 12$ на каждом из этих промежутков:

   • На промежутке $(-∞, -4)$ подставим, например, $x = -5$:
     $(-5)^2 + (-5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0.$
     Значит, на этом промежутке выражение $x^2 + x - 12 > 0$.

   • На промежутке $(-4, 3)$ подставим, например, $x = 0$:
     $0^2 + 0 - 12 = -12 < 0.$
     Значит, на этом промежутке выражение $x^2 + x - 12 < 0$.

   • На промежутке $(3, ∞)$ подставим, например, $x = 4$:
     $4^2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0.$
     Значит, на этом промежутке выражение $x^2 + x - 12 > 0$.

4. Ответ на неравенство:

   Нас интересует, где $x^2 + x - 12 < 0$. Это происходит на промежутке $(-4, 3)$.

   Таким образом, решение неравенства $-x^2 - x + 12 > 0$ — это $x \in (-4, 3)$.