Решите неравенство: х² + 17х > -72

Для решения неравенства $x^2 + 17x > -72$ давайте поэтапно преобразуем его.

1. Переносим все элементы на одну сторону неравенства:

   Исходное неравенство:

   $$x^2 + 17x > -72$$

   Переносим -72 в левую часть:

   $$x^2 + 17x + 72 > 0$$

2. Решение квадратного неравенства:

   Теперь нам нужно решить квадратное неравенство:

   $$x^2 + 17x + 72 > 0$$

   Для этого сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

   $$x^2 + 17x + 72 = 0$$

   Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант рассчитывается по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 1$, $b = 17$, $c = 72$.

   Подставим значения:

   $$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1$$

   Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-17 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 \pm 1}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-17 + 1}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ $$x_2 = \frac{-17 - 1}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

3. Анализ знаков:

   Мы знаем, что парабола, соответствующая выражению $x^2 + 17x + 72$, открывается вверх (поскольку коэффициент перед $x^2$ положительный). Это значит, что выражение $x^2 + 17x + 72$ больше нуля на промежутках, которые лежат за пределами корней уравнения $x = -8$ и $x = -9$.

   То есть, неравенство $x^2 + 17x + 72 > 0$ выполняется при:

   $$x < -9 \quad \text{или} \quad x > -8$$

4. Ответ:

   Решение неравенства $x^2 + 17x + 72 > 0$ — это:

   $$x \in (-\infty, -9) \cup (-8, +\infty)$$