Шар описан вокруг равностороннего конуса с радиусом 6 см найти радиус шара

Чтобы найти радиус шара, описанного вокруг равностороннего конуса с радиусом основания 6 см, нужно использовать геометрические соотношения, связанные с конусом и описанным вокруг него шаром.

1. Геометрия конуса:

   • Пусть радиус основания конуса равен $R = 6$ см.

   • Высота конуса обозначим как $h$.

   • Вершина конуса находится на оси симметрии, и конус является равносторонним, что значит, что его образующие (граничные линии, соединяющие вершину с точками на основании) равны по длине.

2. Радиус шара, описанного вокруг конуса:
   Когда говорят о шаре, описанном вокруг конуса, это значит, что шар касается основания конуса и его боковых поверхностей, то есть шар должен быть вписан в конус так, чтобы он касался всех его боковых граней.

3. Формула для радиуса шара, описанного вокруг конуса:
   Для равностороннего конуса радиус описанного шара $r$ можно найти по следующей формуле:

   $$r = \frac{R \cdot h}{\sqrt{R^2 + h^2}}$$

   где:

   • $R$ — радиус основания конуса,

   • $h$ — высота конуса.

4. Нахождение высоты конуса:
   Поскольку конус равносторонний, образующая (длина линии от вершины конуса до точки на окружности основания) равна радиусу основания. Таким образом, высота конуса $h$ и радиус основания образуют прямоугольный треугольник с образующей как гипотенузой.

   Для такого треугольника по теореме Пифагора:

   $$h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2}$$

   Подставим $R = 6$:

   $$h = \sqrt{6^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} \approx 5.2 \, \text{см}$$

5. Нахождение радиуса шара:
   Теперь, подставим значения $R = 6$ и $h \approx 5.2$ в формулу для радиуса шара:

   $$r = \frac{6 \cdot 5.2}{\sqrt{6^2 + 5.2^2}} = \frac{31.2}{\sqrt{36 + 27.04}} = \frac{31.2}{\sqrt{63.04}} \approx \frac{31.2}{7.94} \approx 3.93 \, \text{см}$$

Итак, радиус шара, описанного вокруг равностороннего конуса с радиусом основания 6 см, составляет примерно 3.93 см.