Найти точки экстремума функции \( y = x^4 - 4x^3 + 20 \) и значения функции в этих точках.

Найдём стационарные точки и проверим их на экстремум.

1. Производная:

Стационарные точки: $y'=0 \Rightarrow x=0$ (кратность 2) и $x=3$.

2. Исследуем знак $y'$.
   Так как множитель $4x^2\ge 0$, знак $y'$ определяется знаком $(x-3)$:

• при $x<3$: $y'<0$ (убывает), причём в $x=0$ производная обращается в ноль, но знак не меняется;

• при $x>3$: $y'>0$ (возрастает).

Следовательно:

• в точке $x=3$ происходит смена убывания на возрастание ⇒ это минимум;

• в точке $x=0$ смены знака нет ⇒ это не экстремум (горизонтальная точка перегиба).

3. Значения функции:

Итог: единственная точка экстремума — минимум при $x=3$, значение функции в ней $y_{\min}=-7$. Максимумов нет (при $x\to\pm\infty$ $y\to+\infty$).