По стороне основания a и боковому ребру b найдите площадь полной поверхности правильной призмы: а) треугольной, б) четырехугольной, в) шестиугольной, если: a = 2 см, b = 6 см.

Решение опирается на формулу полной поверхности правильной призмы:
$S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}$, где $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot b$.
Здесь $a=2\text{ см}$ — сторона правильного $n$-угольника-основания, $b=6\text{ см}$ — боковое ребро (высота призмы).

Общие формулы для оснований:

• Периметр: $P_{\text{осн}}=n a$.

• Площадь правильного $n$-угольника: $S_{\text{осн}}=\dfrac{n a^2}{4\tan(\pi/n)}$.
  Для конкретных $n$:

• $n=3$ (равносторонний треугольник): $S_{\text{осн}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

• $n=4$ (квадрат): $S_{\text{осн}}=a^2$.

• $n=6$ (правильный шестиугольник): $S_{\text{осн}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

а) Правильная треугольная призма ($n=3$)

• $P_{\text{осн}}=3a=3\cdot2=6\text{ см}$.

• $S_{\text{осн}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=\sqrt{3}\text{ см}^2$.

• $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot b=6\cdot6=36\text{ см}^2$.

б) Правильная четырехугольная призма ($n=4$)

• $P_{\text{осн}}=4a=8\text{ см}$.

• $S_{\text{осн}}=a^2=4\text{ см}^2$.

• $S_{\text{бок}}=8\cdot6=48\text{ см}^2$.

в) Правильная шестиугольная призма ($n=6$)

• $P_{\text{осн}}=6a=12\text{ см}$.

• $S_{\text{осн}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^2=6\sqrt{3}\text{ см}^2$