Решите неравенство f'(x)>0, если: 1) f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+3; 2) f(x)=x^3+16/x 3) f(x)=(x-3)*корень из x

1. f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 12x² + 3

Для того чтобы решить неравенство f'(x) > 0, сначала найдем производную функции f(x).

Производная f(x) будет:

$f'(x) = 12x³ - 12x² - 24x$

Теперь решим неравенство:

$12x³ - 12x² - 24x > 0$

Для удобства можно вынести общий множитель:

$12x(x² - x - 2) > 0$

Теперь разложим квадратное выражение:

$12x(x - 2)(x + 1) > 0$

Чтобы решить это неравенство, определим знаки на промежутках, определяемых корнями выражения $x = 0$, $x = 2$ и $x = -1$. Разделим ось x на интервалы: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 2), (2, ∞). Теперь подставим значения из каждого интервала в выражение $12x(x - 2)(x + 1)$:

• Для интервала (-∞, -1): подставим, например, x = -2. Получаем знак положительный.

• Для интервала (-1, 0): подставим x = -0.5. Получаем знак отрицательный.

• Для интервала (0, 2): подставим x = 1. Получаем знак отрицательный.

• Для интервала (2, ∞): подставим x = 3. Получаем знак положительный.

Таким образом, f'(x) > 0 на интервалах $(-∞, -1)$ и $(2, ∞)$.

Ответ: Неравенство выполняется при $x \in (-∞, -1) \cup (2, ∞)$.

2. f(x) = x³ + 16/x

Найдем производную функции f(x):

$f'(x) = 3x² - \frac{16}{x²}$

Решим неравенство:

$3x² - \frac{16}{x²} > 0$

Для упрощения умножим обе части неравенства на $x²$ (при $x ≠ 0$):

$3x⁴ - 16 > 0$

Теперь решим квадратное неравенство:

$3x⁴ > 16$

Разделим на 3:

$x⁴ > \frac{16}{3}$

Для решения этого неравенства возьмем корень из обеих частей:

$|x²| > \sqrt{\frac{16}{3}}$

$|x²| > \frac{4}{\sqrt{3}}$

Следовательно:

$|x| > \sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}}$

Таким образом, x > √(16/3), x < -√(16/3)

Ответ: Неравенство выполняется при $x \in (-∞, -√(16/3)) \cup (√(16/3), ∞)$.

3. f(x) = (x - 3) * √x

Найдем производную функции f(x):

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x - 3) + \sqrt{x}$

Решим неравенство:

$\frac{1}{2\sqrt{x}}(x - 3) + \sqrt{x} > 0$

Для этого умножим обе части на 2√x (при x > 0):

$(x - 3) + 2x > 0$

Упростим:

$3x - 3 > 0$

$3x > 3$

$x > 1$

Ответ: Неравенство выполняется при $x > 1$.