Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из этой вершины, пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в $C$ ($\angle C=90^\circ$), катеты $CA=b$, $CB=a$ (пусть $a\neq b$). Введём прямоугольную систему координат с началом в $C$, ось $Ox$ вдоль $CA$, ось $Oy$ вдоль $CB$. Тогда

Высота из $C$ на гипотенузу $AB$.
Уравнение прямой $AB$: $\dfrac{x}{b}+\dfrac{y}{a}=1$, её угловой коэффициент $k_{AB}=-\dfrac{a}{b}$. Перпендикуляр через $C(0,0)$ к $AB$ имеет угловой коэффициент

то есть высота $CH$ задаётся уравнением $y=\dfrac{b}{a}\,x$.

Медиана из $C$ к гипотенузе.
Середина гипотенузы $M$ есть

поэтому прямая $CM$ проходит через начало и имеет угловой коэффициент

то есть её уравнение $y=\dfrac{a}{b}\,x$.

Биссектриса прямого угла при $C$.
В наших осях внутренняя биссектриса $\angle C$ — это прямая $y=x$ (угловой коэффициент $1$).

Теперь заметим ключевой факт: угловые коэффициенты высоты и медианы взаимно обратны:

Отражение прямой $y=kx$ относительно биссектрисы $y=x$ переводит её в прямую $y=\dfrac{1}{k}x$ (координаты точек меняются местами, а значит наклон становится взаимно обратным). Следовательно, отражение относительно $y=x$ переводит высоту $CH$ в медиану $CM$.

А раз так, то биссектриса $y=x$ делит угол между прямыми $CH$ и $CM$ пополам:

Иными словами, в прямоугольном треугольнике (в том числе при $a\neq b$) биссектриса прямого угла действительно пополам делит угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.