Дроби и рациональные числа

• Общий знаменатель. $\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$: привести к общему знаменателю или просто сравнить перекрёстно:
  $\frac{p}{q} \; ? \; \frac{r}{s}$ эквивалентно $p\cdot s \; ? \; r\cdot q$ при $q,s>0$.
  Если знаменатели могут быть отрицательными — сначала нормализовать знак (перенести «минус» в числитель).

• Смешанные формы. Удобно выделять целую часть: больше тот, у кого целая часть больше; если равны — сравнивать дробные части как выше.

Порядки величин и «большие» выражения

• Степени и произведения. Чтобы сравнить $a^b$ и $c^d$ при $a,c>0$, удобно сравнить $b\ln a$ и $d\ln c$ (или $b\log_{10}a$ и $d\log_{10}c$). Это избегает переполнений.

• Очень большие положительные целые. Сначала сравнивают по числу цифр (у кого больше — тот больше). Если длины равны — лексикографически по цифрам слева направо.

Практические нюансы в программировании

• Обычные операторы. В большинстве языков: <, >, <=, >=, ==. Для упорядочивания/сортировки — функции наподобие compare(a,b).

• Целые типы и переполнение. Избегайте «$a-b$ и смотреть знак» в типах фиксированной ширины. Предпочтительнее:

  • Java: Integer.compare(a,b), Long.compare(a,b);

  • C/C++: прямые сравнения if (a < b) вместо вычисления разности;

  • Для произвольной разрядности — типы вроде BigInteger.

• Числа с плавающей точкой. Не сравнивайте на точное равенство. Используйте допуск (эпсилон):
  два числа x и y считаем равными, если |x - y| <= eps * max(1, |x|, |y|).
  Тогда:

  • x < y, если x + tol < y;

  • x > y, если x > y + tol;

  • иначе — «практически равны». Значение eps выбирают под задачу (например, 1e-9 для двойной точности).

• Десятичные деньги/точные дроби. Применяют десятичные типы/библиотеки с точным масштабом (decimal, BigDecimal) и сравнивают методами compareTo, чтобы избежать двоичных артефактов.

• Строки с числами. Для положительных целых, записанных строками без лидирующих нулей, можно сравнить по длине, а затем лексикографически. Для общих случаев строки нужно парсить в числовой тип.

Когда «сравнить» нельзя

• Комплексные числа. Для них нет естественного линейного порядка, совместимого с арифметикой. Можно сравнивать только отдельные характеристики (например, модули: $|z_1|$ и $|z_2|$), но это уже не сравнение самих комплексных чисел «что больше/меньше».

Короткие примеры

• $\frac{7}{15}$ vs $\frac{2}{5}$: сравниваем $7\cdot5=35$ и $2\cdot15=30$ ⇒ $35>30$ ⇒ $\frac{7}{15}>\frac{2}{5}$.

• $2^{1000}$ vs $10^{300}$: сравниваем $1000\ln2 \approx 693.15$ и $300\ln10 \approx 690.78$ ⇒ $2^{1000} > 10^{300}$.

• С плавающей точкой: пусть x=0.3, y=0.1+0.2. Наивно x==y может дать false. С допуском eps=1e-9: |x-y| меньше допуска ⇒ считаем равными.

В итоге, выбор способа зависит от типа чисел: для «обычных» — достаточно операторов сравнения; для дробей — перекрёстное умножение; для больших/степенных выражений — логарифмы; для вычислительной математики — допуски и типы произвольной точности.