Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, шагая по неподвижному эскалатору?

Задача заключается в нахождении количества ступенек на неподвижном эскалаторе, если мальчик поднимался и спускался по движущемуся эскалатору с разной скоростью.

Обозначим:

• $N$ — количество ступенек на неподвижном эскалаторе.

• $v_m$ — скорость мальчика (в количестве ступенек за единицу времени).

• $v_e$ — скорость эскалатора (в количестве ступенек за единицу времени).

Когда мальчик спускается по эскалатору, его скорость суммируется с движением эскалатора. Он насчитал 30 ступенек. При этом, он фактически преодолел 30 ступенек вниз за время, которое тратил на спуск, и за это время эскалатор сам сдвигал ещё ступенек вниз. Обозначим это время как $t_1$. Тогда:

Когда мальчик поднимался вверх, он преодолевал количество ступенек, которое эскалатор двигал против него. Он насчитал 150 ступенек, но это количество ступенек включает как ступеньки, которые он преодолел, так и те, которые он "переходил" благодаря движению эскалатора против него. Время, которое он тратил на подъем, обозначим как $t_2$, и оно равно:

Мы знаем, что время, затраченное на подъем, и время, затраченное на спуск, одинаковы, так как он двигался с одинаковой скоростью в обе стороны. То есть:

Решая это уравнение, умножаем обе части на $(v_m + v_e)(v_m - v_e)$ и получаем:

Упростим:

Переносим все элементы на одну сторону:

Разделим обе стороны на 60:

Отсюда:

Это означает, что скорость мальчика в 1,5 раза больше по величине, чем скорость эскалатора, но направлена противоположно его движению.

Теперь, зная, что $v_m = \frac{3}{2}v_e$, мы можем найти количество ступенек на неподвижном эскалаторе. Мальчик насчитал 30 ступенек, когда спускался, и 150 ступенек, когда поднимался. Мальчик на самом деле проходит эти ступенки, так что для неподвижного эскалатора это будет просто сумма количества пройденных ступенек.

Итак, на неподвижном эскалаторе мальчик насчитал бы:

Ответ: на неподвижном эскалаторе мальчик насчитал бы 180 ступенек.