Найдите наименьшее значение многочлена \( p(x) = x^2 + 10x + 1 \).

Чтобы найти наименьшее значение многочлена $p(x) = x^2 + 10x + 1$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Приведем выражение к виду полного квадрата.

   Для этого используем метод выделения полного квадрата. Рассмотрим только квадратную и линейную часть многочлена $x^2 + 10x$.

   Чтобы выделить полный квадрат, к $x^2 + 10x$ нужно прибавить и вычесть число, которое сделает выражение полным квадратом. Это число — половина коэффициента при $x$ в квадрате:

   $$\left( \frac{10}{2} \right)^2 = 25.$$

   Таким образом, мы добавляем и вычитаем 25:

   $$x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25.$$

2. Запишем полный многочлен.

   Теперь заменим $x^2 + 10x$ на $(x + 5)^2 - 25$ в исходном многочлене:

   $$p(x) = (x + 5)^2 - 25 + 1 = (x + 5)^2 - 24.$$

3. Найдем наименьшее значение.

   Выражение $(x + 5)^2$ всегда неотрицательно, то есть оно может быть равно нулю в наименьшем случае. Наименьшее значение достигается, когда $(x + 5)^2 = 0$, что происходит при $x = -5$.

   Подставим $x = -5$ в выражение для $p(x)$:

   $$p(-5) = (0)^2 - 24 = -24.$$

Итак, наименьшее значение многочлена $p(x)$ равно $-24$, и оно достигается при $x = -5$.