решить уравнения: a) log₃(x+4)=log₃(2x-1) б) log₂(x-3)=4в) lg(x-1)+lg(x-2,5)=1г)

Ответы на вопрос

Отвечает Бакланов Денис.

Мы знаем, что если логарифмы с одинаковым основанием равны, то их аргументы тоже должны быть равны. То есть:

x + 4 = 2x - 1

Решим это уравнение:

x + 4 = 2x - 1

4 + 1 = 2x - x

5 = x

Проверим решение. Подставим $x = 5$ в исходное уравнение:

\log_3(5+4) = \log_3(2 \cdot 5 - 1)

\log_3(9) = \log_3(9)

Так как обе стороны равны, $x = 5$ — правильное решение.

Ответ: $x = 5$ .

Мы можем переписать логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме:

x - 3 = 2^4

x - 3 = 16

x = 16 + 3 = 19

Проверим решение. Подставим $x = 19$ в исходное уравнение:

\log_2(19 - 3) = 4

\log_2(16) = 4

4 = 4

Ответ: $x = 19$ .

Используем свойство логарифмов, что $\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b)$ . Тогда уравнение можно преобразовать в:

\log_{10}((x - 1)(x - 2.5)) = 1

Переведем логарифм в экспоненциальную форму:

(x - 1)(x - 2.5) = 10^1 = 10

Решим полученное уравнение:

(x - 1)(x - 2.5) = 10

x^2 - 3.5x + 2.5 = 10

x^2 - 3.5x - 7.5 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-3.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7.5) = 12.25 + 30 = 42.25

x = \frac{-(-3.5) \pm \sqrt{42.25}}{2 \cdot 1}

x = \frac{3.5 \pm 6.5}{2}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{3.5 + 6.5}{2} = 5

x_2 = \frac{3.5 - 6.5}{2} = -1.5

Проверим оба значения:

\log_{10}(5 - 1) + \log_{10}(5 - 2.5) = \log_{10}(4) + \log_{10}(2.5) \approx 0.6021 + 0.3979 = 1

Значение $x = 5$ подходит.

\log_{10}(-1.5 - 1) + \log_{10}(-1.5 - 2.5)

Логарифм отрицательных чисел не существует, поэтому $x = -1.5$ не подходит.

Ответ: $x = 5$ .

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, их аргументы тоже должны быть равны. То есть:

x^2 - 2x + 4 = 2x^2 + 5x + 10

Похожие вопросы

Последние заданные вопросы в категории Математика

решить уравнения: a) log₃(x+4)=log₃(2x-1) б) log₂(x-3)=4в) lg(x-1)+lg(x-2,5)=1г) log₅(x²-2x+4)=log₅(2x²+5x+10)