1-6sin²x-7cosx=0 решить уравнение и произвести отбор корней на отрезке [-π;2π]

Рассмотрим уравнение:

1. Используем тригонометрические тождества.
   Мы можем выразить $\sin^2(x)$ через $\cos(x)$ с помощью тождества $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$. Подставим это в исходное уравнение:

   $$1 - 6(1 - \cos^2(x)) - 7\cos(x) = 0$$

   Упростим:

   $$1 - 6 + 6\cos^2(x) - 7\cos(x) = 0$$ $$6\cos^2(x) - 7\cos(x) - 5 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $\cos(x)$.

2. Решение квадратного уравнения.
   Пусть $y = \cos(x)$. Тогда уравнение становится:

   $$6y^2 - 7y - 5 = 0$$

   Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня:

   $$y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$

3. Проверка возможных значений для $\cos(x)$.
   Мы знаем, что значение $\cos(x)$ должно быть в интервале $[-1, 1]$. Значение $y_1 = \frac{5}{3}$ не подходит, так как оно больше 1. Поэтому единственным возможным значением для $\cos(x)$ является $y_2 = -\frac{1}{2}$.

4. Нахождение углов.
   Из уравнения $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ мы получаем:

   $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Найдем все решения на отрезке $[-π; 2π]$.

   Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$:

   • При $k = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$.

   • При $k = -1$, $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

   Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$:

   • При $k = 0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$.

   • При $k = 1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$