На прямой расположены пять точек. Все попарные расстояния между ними в порядке возрастания - это 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17, 19. Чему равно k?

Возьмём точки на прямой в порядке $x_1\le x_2\le x_3\le x_4\le x_5$ и сдвинем систему так, чтобы $x_1=0$. Тогда из максимального расстояния $19$ получаем $x_5=19$.

Второе по величине расстояние $17$ — это либо $x_5-x_2$, либо $x_4-x_1$. В обоих случаях неизбежно появляется точка на расстоянии $2$ от одного из концов. Без потери общности положим $x_2=2$ (тогда $x_5-x_2=17$ совпадает со списком).

Далее расстояние $15$ должно быть либо $x_5-x_3$, либо $x_4-x_1$.
Если взять $x_3=4$, то появится дублирование расстояния $2$ (ведь $x_3-x_2=2$), а в нашем списке все 10 расстояний различны. Значит, берём $x_4=15$ (тогда $x_4-x_1=15$ и $x_5-x_4=4$ — оба есть в списке).

Осталось подобрать $x_3$ так, чтобы четыре расстояния с его участием

дали недостающие числа из набора $\{5,7,8,k,13\}$. Проверка $x_3=7$ даёт:

А ещё расстояние $x_4-x_2=15-2=13$. В результате полный набор расстояний становится

т.е. искомое $k=12$.

Ответ: $k=12$.