Существуют ли три последовательных натуральных числа: 1) каждое из которых является простым; 2) ни одно из которых не является составным? Ответ обоснуйте.

Рассмотрим три последовательных натуральных числа:

1) Могут ли все три быть простыми?

Нет, не могут.

Обоснование: среди любых трёх последовательных чисел обязательно есть чётное (потому что чётность чередуется: чётное–нечётное–чётное или нечётное–чётное–нечётное).
А любое чётное число больше 2 — составное, потому что делится на 2 и на само себя, и при этом больше 2, значит имеет нетривиальный делитель 2.

Значит, чтобы чётное число в тройке было простым, оно должно быть равно 2 (единственное чётное простое число).

Если в тройке $n, n+1, n+2$ есть число 2, то возможны только варианты:

• $0,1,2$ — не натуральные все числа (0 не считают натуральным в школьной традиции),

• $1,2,3$ — здесь 1 не простое,

• $2,3,4$ — здесь 4 составное.

Во всех случаях не получается три простых подряд.
Итак, трёх последовательных натуральных простых чисел не существует.

2) Могут ли три последовательных натуральных числа быть такими, что ни одно из них не составное?

Да, могут.

“Не составное” означает: число либо простое, либо равно 1 (потому что 1 — ни простое, ни составное).

Снова используем факт: в тройке $n, n+1, n+2$ есть чётное число. Чтобы не было составных, это чётное число не должно быть $\ge 4$, иначе оно составное. Значит, оно обязано быть 2.

Если чётное число равно 2, то тройка единственным образом определяется:

Проверяем:

• 1 — не составное,

• 2 и 3 — простые.

Следовательно, такая тройка существует, и это $1,2,3$.