1) Решите неравенство, используя метод интервалов: (x+8)(x-5)>0 (x-14)(x+10)<0 2) Решите неравенство: x(x+1)(x+5)(x-8)>0

Для решения неравенства $(x+8)(x-5) > 0$, $(x-14)(x+10) > 0$ с использованием метода интервалов, давайте разделим задачу на два этапа: сначала решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдём пересечение решений.

1. Решение первого неравенства: $(x+8)(x-5) > 0$

Для начала находим корни выражения, при которых $(x+8)(x-5) = 0$:

• $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$

• $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

Эти значения разбивают ось $x$ на три интервала: $(-∞, -8)$, $(-8, 5)$, $(5, ∞)$.

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

• Для $x \in (-∞, -8)$ (например, $x = -9$):

  $$(x+8)(x-5) = (-9+8)(-9-5) = (-1)(-14) = 14 > 0.$$

  То есть, на интервале $(-∞, -8)$ выражение положительное.

• Для $x \in (-8, 5)$ (например, $x = 0$):

  $$(x+8)(x-5) = (0+8)(0-5) = 8(-5) = -40 < 0.$$

  То есть, на интервале $(-8, 5)$ выражение отрицательное.

• Для $x \in (5, ∞)$ (например, $x = 6$):

  $$(x+8)(x-5) = (6+8)(6-5) = 14(1) = 14 > 0.$$

  То есть, на интервале $(5, ∞)$ выражение положительное.

Таким образом, неравенство $(x+8)(x-5) > 0$ выполняется для $x \in (-∞, -8) \cup (5, ∞)$.

2. Решение второго неравенства: $(x-14)(x+10) > 0$

Теперь найдём корни второго выражения:

• $x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$

• $x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10$

Эти значения разбивают ось $x$ на три интервала: $(-∞, -10)$, $(-10, 14)$, $(14, ∞)$.

Проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

• Для $x \in (-∞, -10)$ (например, $x = -11$):

  $$(x-14)(x+10) = (-11-14)(-11+10) = (-25)(-1) = 25 > 0.$$

  То есть, на интервале $(-∞, -10)$ выражение положительное.

• Для $x \in (-10, 14)$ (например, $x = 0$):

  $$(x-14)(x+10) = (0-14)(0+10) = (-14)(10) = -140 < 0.$$

  То есть, на интервале $(-10, 14)$ выражение отрицательное.

• Для $x \in (14, ∞)$ (например, $x = 15$):

  $$(x-14)(x+10) = (15-14)(15+10) = (1)(25) = 25 > 0.$$

  То есть, на интервале $(14, ∞)$ выражение положительное.

Таким образом, неравенство $(x-14)(x+10) > 0$ выполняется для $x\in (-\mathrm{\infty },-10)\cup (14,\mathrm{\infty })$