Решите неравенство методом интервалов. (9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3)>0

Для того чтобы решить неравенство $(9x^2 - 4)(16 - x^2)(2x^2 + 3) > 0$ методом интервалов, сначала найдем нули каждого из множителей и определим интервалы, на которых будет меняется знак произведения.

Шаг 1: Найдем нули каждого множителя.

1. $9x^2 - 4 = 0$

   Решаем это уравнение:

   $$9x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{9} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2}{3}.$$

   Таким образом, нули первого множителя — это $x = \frac{2}{3}$ и $x = -\frac{2}{3}$.

2. $16 - x^2 = 0$

   Решаем это уравнение:

   $$x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4.$$

   Таким образом, нули второго множителя — это $x = 4$ и $x = -4$.

3. $2x^2 + 3 = 0$

   Решаем это уравнение:

   $$2x^2 = -3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\frac{3}{2}.$$

   Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот множитель никогда не равен нулю, и его знак всегда положителен.

Шаг 2: Определим интервалы и знак каждого множителя.

Мы имеем следующие значения, при которых каждый из множителей равен нулю: $x = -4$, $x = -\frac{2}{3}$, $x = \frac{2}{3}$, и $x = 4$. Эти значения делят числовую прямую на несколько интервалов:

Теперь рассмотрим знак каждого множителя на этих интервалах:

1. Для множителя $9x^2 - 4$:

   • $x < -\frac{2}{3}$: знак положительный (так как $x^2 > \frac{4}{9}$).

   • $-\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$: знак отрицательный (так как $x^2 < \frac{4}{9}$).

   • $x > \frac{2}{3}$: знак положительный (так как $x^2 > \frac{4}{9}$).

2. Для множителя $16 - x^2$:

   • $x < -4$ и $x > 4$: знак положительный (так как $x^2 > 16$).

   • $-4 < x < 4$: знак отрицательный (так как $x^2 < 16$).

3. Для множителя $2x^2 + 3$:

   • Этот множитель всегда положителен, так как $2x^2 + 3 > 0$ для всех $x$.

Шаг 3: Составим таблицу знаков.

На основе вышеизложенных данных можно составить таблицу знаков: