график функции y = x² + 4x - 4

Это парабола, ветви направлены вверх.

1. Приведу к вершиной форме:
   $y=x^2+4x-4=(x+2)^2-8$.
   Отсюда сразу видно:

• Вершина: $(-2,\,-8)$.

• Ось симметрии: $x=-2$.

• Минимальное значение функции: $-8$ при $x=-2$.

• Область определения: все $x\in\mathbb R$.

• Область значений: $y\ge -8$.

2. Пересечения с осями:

• С осью $Oy$: при $x=0$ получаем $y=-4$, точка $(0,-4)$.

• С осью $Ox$: решаем $x^2+4x-4=0$.
  $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+16}}{2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{32}}{2}=-2\pm2\sqrt2$.
  Приближённо: $x_1\approx-4{,}828$, $x_2\approx0{,}828$. Точки $(-2-2\sqrt2,\,0)$ и $(-2+2\sqrt2,\,0)$.

3. Возрастание/убывание:

• Убывает на $(-\infty,\,-2)$.

• Возрастает на $(-2,\,+\infty)$.

4. Знак функции:

• $y>0$ при $x\in(-\infty,\,-2-2\sqrt2)\cup(-2+2\sqrt2,\,+\infty)$.

• $y<0$ при $x\in(-2-2\sqrt2,\,-2+2\sqrt2)$.

• $y=0$ в корнях $x=-2\pm2\sqrt2$.

5. Если нужны элементы параболы в геометрическом смысле:

• Параметр $a=1$, фокус $(-2,\,-8+\tfrac{1}{4})=(-2,\,-7{,}75)$.

• Директриса: $y=-8-\tfrac{1}{4}=-8{,}25$.

Как набросать график: отметить вершину $(-2,-8)$, провести ось симметрии $x=-2$, поставить точки пересечения $(0,-4)$, $(-2\pm2\sqrt2,0)$, затем плавно соединить их симметрично относительно $x=-2$, получив «чашу», открывающуюся вверх.