Найдите меньшее основание прямоугольной трапеции, у которой площадь равна \(3150\sqrt{3}\), высота \(30\sqrt{3}\), а острый угол \(30^\circ\).

Для решения задачи нужно использовать формулы площади прямоугольной трапеции и её геометрические свойства.

1. Площадь прямоугольной трапеции можно выразить через формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$$

   где:

   • $a$ — основание трапеции (меньшее),

   • $b$ — большее основание,

   • $h$ — высота трапеции.

   В задаче даны:

   • $S = 3150\sqrt{3}$,

   • $h = 30\sqrt{3}$,

   • угол между боковой стороной и основанием $30^\circ$.

2. Подставим значения площади и высоты в формулу:

   $$3150\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot 30\sqrt{3}$$

   Упростим выражение:

   $$3150\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \cdot (a + b)$$

   Разделим обе части на $15\sqrt{3}$:

   $$a + b = 210$$

3. Теперь нужно найти большее основание $b$. Для этого используем угол $30^\circ$ и свойства прямоугольной трапеции. Боковая сторона, которая наклонена под углом $30^\circ$, образует с основанием прямоугольного треугольника, где одна из сторон является высотой $h$, а другая — разницей между основаниями $b - a$.

   С помощью тригонометрических функций для прямоугольного треугольника:

   $$\tan 30^\circ = \frac{h}{b - a}$$

   Значение $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, подставляем:

   $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{b - a}$$

   Умножим обе части на $b - a$ и на $\sqrt{3}$:

   $$b - a = 90$$

4. Теперь у нас есть система уравнений:

   $$a + b = 210$$ $$b - a = 90$$

   Решим её. Складываем два уравнения:

   $$(a + b) + (b - a) = 210 + 90$$ $$2b = 300$$ $$b = 150$$

   Подставим значение $b = 150$ в первое уравнение:

   $$a + 150 = 210$$ $$a = 60$$

Ответ: меньшее основание трапеции равно $60$.