Решите Неравенство 2x 2-7x-9 меньше 0

Чтобы решить неравенство $2x^2 - 7x - 9 < 0$, сначала решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

Шаг 1. Решение квадратного уравнения.

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

Здесь:

• $a = 2$

• $b = -7$

• $c = -9$

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

Так как дискриминант положительный, у нас два различных корня.

Шаг 2. Нахождение корней.

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:

Подставляем известные значения:

Получаем два корня:

Шаг 3. Интервал на основе корней.

Теперь, когда мы знаем корни уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$, можем исследовать, где выражение $2x^2 - 7x - 9$ меньше нуля. У нас есть два корня: $x_1 = 4.5$ и $x_2 = -1$.

Рассмотрим знаки выражения $2x^2 - 7x - 9$ на интервалах, определённых этими корнями:

• $(-\infty, -1)$

• $(-1, 4.5)$

• $(4.5, +\infty)$

Шаг 4. Исследование знаков.

1. На интервале $(-\infty, -1)$: Возьмём, например, точку $x = -2$. Подставим её в выражение:

   $$2(-2)^2 - 7(-2) - 9 = 8 + 14 - 9 = 13$$

   Это положительное число, значит, на интервале $(-\infty, -1)$ выражение $2x^2 - 7x - 9$ больше нуля.

2. На интервале $(-1, 4.5)$: Возьмём точку $x = 0$. Подставим её в выражение:

   $$2(0)^2 - 7(0) - 9 = -9$$

   Это отрицательное число, значит, на интервале $(-1, 4.5)$ выражение $2x^2 - 7x - 9$ меньше нуля.

3. На интервале $(4.5, +\infty)$: Возьмём точку $x = 5$. Подставим её в выражение:

   $$2(5)^2 - 7(5) - 9 = 50 - 35 - 9 = 6$$

   Это положительное число, значит, на интервале $(4.5, +\infty)$ выражение $2x^2 - 7x - 9$ больше нуля.

Шаг 5. Ответ.

Выражение $2x^2 - 7x - 9$ меньше нуля на интервале $(-1, 4.5)$. Таким образом, решение неравенства $2x^2 - 7x - 9 < 0$ — это интервал: