Найти формулу общего члена последовательности по заданным первым элементам: 2; 6; 12; 20; 30; 42.

Последовательность: 2, 6, 12, 20, 30, 42.

Посмотрим на первые разности:
$6-2=4,\; 12-6=6,\; 20-12=8,\; 30-20=10,\; 42-30=12$.
Разности образуют арифметическую прогрессию с шагом 2, значит исходная последовательность задаётся квадратичным многочленом

Подставим первые три члена:

Вычитая, получаем:

Отсюда $2a=2 \Rightarrow a=1$, затем $3\cdot1+b=4 \Rightarrow b=1$, и $a+b+c=2 \Rightarrow 1+1+c=2 \Rightarrow c=0$.

Итак,

Замечание: это же сумма первых $n$ чётных чисел $2+4+\dots+2n$ и одновременно произведение двух соседних натуральных (так называемые «пронические» числа).