1) Сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная. 2) Сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная.

Обе формулировки верны. Доказательство короткое.

Возьмём два нечётных числа: $a=2k+1$ и $b=2\ell+1$. Тогда

т.е. сумма двух нечётных — чётная.

1. Если слагаемых нечётных — чётное количество $2m$, сгруппируем их по парам. Каждая пара даёт чётное число (как показано выше), а сумма чётных чисел — чётная. Значит, сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная.

2. Если слагаемых нечётных — нечётное количество $2m+1$, то сложим сначала любые $2m$ из них: по пункту (1) это чётное число. К нему прибавляем оставшееся одно нечётное слагаемое; чётное + нечётное = нечётное. Следовательно, сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная.

Эквивалентно можно рассуждать по модулю 2: каждое нечётное имеет остаток 1, а сумма остатков — это просто количество слагаемых по модулю 2. Если слагаемых чётно, остаток 0 (чётная сумма); если нечётно — остаток 1 (нечётная сумма).