Найти промежутки возрастания функции y = x³ + x² - 8x.

Рассмотрим производную:
$y=x^{3}+x^{2}-8x\Rightarrow y' = 3x^{2}+2x-8$.

Найдём критические точки, решив $3x^{2}+2x-8=0$.
Дискриминант: $D=2^{2}-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100$.
Корни: $x=\dfrac{-2\pm10}{6}\Rightarrow x_{1}=-2,\; x_{2}=\dfrac{4}{3}$.

Так как $y'$ — парабола, ветви вверх, то:

• на промежутках вне корней производная положительна,

• между корнями — отрицательна.

Значит функция:

• возрастает на $(-\infty,-2)$ и $\left(\dfrac{4}{3},+\infty\right)$;

• убывает на $(-2,\dfrac{4}{3})$.

Ответ: промежутки возрастания — $(-\infty,-2)$ и $\left(\dfrac{4}{3},+\infty\right)$.