1) Найдите наименьшее пятизначное число, все цифры которого различны, кратное 3. 2) Найдите наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, кратное 3. 3) Найдите наименьшее пятизначное число, все цифры которого различны, кратное 9. 4) Найдите наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, кратное 9. 5) В равенстве 101 - 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

1. Наименьшее пятизначное число с разными цифрами, кратное 3

Самое маленькое пятизначное число с различными цифрами стараемся строить “слева направо”, делая каждую следующую цифру как можно меньше.

Начнём с минимально возможного начала: 1 0 2 3 _ (число 1023_).

Проверим кратность 3: число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 3.

Сумма первых четырёх цифр: $1+0+2+3=6$.
Значит, последняя цифра $x$ должна дать сумму $6+x$, кратную 3.
Так как 6 уже кратно 3, то нужно, чтобы $x$ тоже была кратна 3.

Но цифры должны быть различны, значит $x\neq 0,1,2,3$.
Из цифр, кратных 3, подходят $6$ и $9$ (но берём минимальную).

Минимальная подходящая — 6, получаем число 10236.
Оно пятизначное, все цифры разные, сумма цифр $1+0+2+3+6=12$ кратна 3.

Ответ: 10236.

2. Наибольшее пятизначное число с разными цифрами, кратное 3

Чтобы число было максимально большим, берём самые большие цифры слева: 9876_.

Проверим условие кратности 3 по сумме цифр:
$9+8+7+6=30$. Нужно, чтобы $30+x$ было кратно 3.
30 уже кратно 3, значит последняя цифра $x$ должна быть кратна 3.

Цифры не должны повторяться, значит нельзя брать 9, 6, 3? (3 ещё не использовалась, можно).
Из оставшихся цифр, кратных 3, наибольшая — 3 (цифра 0 тоже кратна 3, но меньше).

Получаем 98763. Сумма цифр $9+8+7+6+3=33$ кратна 3.

Любое число больше 98763 при тех же первых четырёх цифрах — это 98764 или 98765, но они уже не будут кратны 3.

Ответ: 98763.

3. Наименьшее пятизначное число с разными цифрами, кратное 9

Число кратно 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9.

Снова начинаем с минимального “каркаса” слева: пробуем 1023_.
Сумма $1+0+2+3=6$. Нужно $6+x\equiv 0 \pmod 9$, то есть $x\equiv 3 \pmod 9$.
Подходящие цифры: 3, 12… Но 3 уже занята, 12 не цифра — значит с 1023_ не получится.

Пробуем 1024_: сумма $1+0+2+4=7$. Нужно $x\equiv 2 \pmod 9$.
Цифра 2 уже занята, больше подходящих цифр нет — не подходит.

Пробуем 1025_: сумма 8, нужно $x\equiv 1$ — цифра 1 занята.

Пробуем 1026_: сумма $1+0+2+6=9$. Нужно $x\equiv 0$.
Цифра 0 уже занята, но есть ещё 9? Нет, 9 не даёт остаток 0, зато даёт 9, а $9+9=18$ — кратно 9.
То есть при сумме 9 последняя цифра может быть 9, потому что $9+9=18$.

Цифра 9 не использовалась, значит число 10269 подходит.
Сумма цифр $1+0+2+6+9=18$ кратна 9, цифры разные.

Ответ: 10269.

4. Наибольшее пятизначное число с разными цифрами, кратное 9

Хотим максимум, начинаем с 9876_.

Сумма $9+8+7+6=30$. Нужно $30+x$ кратно 9.
$30 \equiv 3 \pmod 9$, значит $x \equiv 6 \pmod 9$. Подходящая цифра — 6, но она уже использована. Других цифр с остатком 6 нет (15 не цифра). Значит 9876_ не годится.

Пробуем 9875_: сумма $9+8+7+5=29 \equiv 2$. Нужно $x\equiv 7$, но 7 уже использована.

Пробуем 9874_: сумма $28 \equiv 1$. Нужно $x\equiv 8$, но 8 уже использована.

Пробуем 9873_: сумма $27$, а 27 кратно 9, значит нужно $x\equiv 0$.
Цифра 0 не использована, можно поставить 0.

Получаем 98730. Сумма цифр $9+8+7+3+0=27$ кратна 9, цифры разные.

Это и будет максимум, потому что все варианты с префиксом 9874, 9875, 9876 мы проверили — они не могут дать кратность 9 без повторения цифр.

Ответ: 98730.

5. В равенстве 101 − 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным

Передвинем цифру 2 так, чтобы она стала показателем степени у числа 10 (то есть превратила “10” в “10²”). Тогда “102” превращается в “10²”.

Получаем:

Поскольку $10^2 = 100$, имеем $101 - 100 = 1$, верно.

Ответ: $101 - 10^2 = 1$.