12 в степени sinx = 4 в степени sinx * 3 в степени -√3 cosx

Решим уравнение

1) Приведём левую часть к основаниям 4 и 3

Заметим, что $12=4\cdot 3$. Тогда

потому что при любом действительном показателе $a^t b^t=(ab)^t$ для $a>0, b>0$.

Подставляем:

2) Сократим на общий множитель

Так как $4^{\sin x}>0$ при любом $x$, можно разделить обе части на $4^{\sin x}$:

3) Приравняем показатели

Основание $3$ положительное и не равно 1, значит функция $3^t$ строго монотонна, и равенство степеней возможно только при равенстве показателей:

Перенесём в одну сторону:

Если $\cos x\neq 0$, делим на $\cos x$:

Если $\cos x=0$, то $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, тогда $\sin x=\pm 1$, и равенство $\sin x=-\sqrt3\cos x$ превращается в $\pm1=0$, что невозможно. Значит $\cos x\neq 0$ действительно, и деление корректно.

4) Запишем общее решение

Это же можно записать как

поскольку $-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: