Корзина полная яблок, вмещает не более 500 яблок. Если бы их вынимали по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6, то осталось бы 1 яблоко. Их вынимали по 7, и остатка не получилось. Сколько яблок было в корзине?

Задача предполагает нахождение количества яблок в корзине, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. Корзина вмещает не более 500 яблок.

2. Если яблоки вынимали по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6, то оставалось 1 яблоко.

3. Если яблоки вынимали по 7, остатка не оставалось.

Для того чтобы решить задачу, рассмотрим систему уравнений:

1. $x \equiv 1 \pmod{2}$ (остаток 1 при делении на 2)

2. $x \equiv 1 \pmod{3}$ (остаток 1 при делении на 3)

3. $x \equiv 1 \pmod{4}$ (остаток 1 при делении на 4)

4. $x \equiv 1 \pmod{5}$ (остаток 1 при делении на 5)

5. $x \equiv 1 \pmod{6}$ (остаток 1 при делении на 6)

6. $x \equiv 0 \pmod{7}$ (делится на 7 без остатка)

Из первых пяти условий можно сделать вывод, что $x \equiv 1 \pmod{\text{LCM}(2, 3, 4, 5, 6)}$, где $\text{LCM}$ — это наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5 и 6. Вычислим $\text{LCM}(2, 3, 4, 5, 6)$:

• Наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5 и 6 равно 60.

Значит, $x \equiv 1 \pmod{60}$. То есть $x$ имеет вид $x = 60k + 1$, где $k$ — целое число.

Теперь добавим условие $x \equiv 0 \pmod{7}$. Это означает, что $x$ делится на 7. Подставим $x = 60k + 1$ в это условие:

Преобразуем это:

Заметим, что $60 \equiv 4 \pmod{7}$, так что уравнение становится:

Преобразуем $-1$ в положительное число по модулю 7: $-1 \equiv 6 \pmod{7}$. Теперь у нас:

Найдем обратное к 4 по модулю 7. Для этого проверим, какое число $x$, умноженное на 4, дает остаток 1 по модулю 7:

Значит, обратное к 4 по модулю 7 — это 2. Умножим обе части уравнения $4k \equiv 6 \pmod{7}$ на 2:

Преобразуем $8 \equiv 1 \pmod{7}$ и $12 \equiv 5 \pmod{7}$, получаем:

Таким образом, $k = 7m + 5$, где $m$ — целое число. Подставим это в выражение для $x$:

Поскольку корзина вмещает не более 500 яблок, $x$ должно быть меньше или равно 500. Таким образом, $420m + 301 \leq 500$. Решим это неравенство:

Поскольку $m$ — целое число, единственное возможное значение для $m$ — это 0. Подставим $m = 0$ в выражение для $x$:

Таким образом, в корзине было 301 яблоко.