Над семью озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё пол-гуся. Остальные летели дальше. Сколько всего летело гусей?

Обозначим через $N$ количество гусей, которые подлетают к очередному озеру.

По условию на каждом озере садится половина гусей и ещё пол-гуся, то есть

Тогда дальше летит остаток:

Значит, после каждого озера число продолжающих полёт гусей становится

Так как озёр семь, применяем это правило 7 раз. Удобнее решать “с конца”: после 7-го озера уже никто дальше не летит, то есть после седьмого шага остаётся $0$.

Пусть после какого-то озера осталось $x$ гусей и они полетели дальше. Тогда перед этим озером было такое число $N$, что

То есть, чтобы восстановить количество “до озера”, нужно взять оставшихся “после озера”, умножить на 2 и прибавить 1.

Идём назад от конца:

• После 7-го озера осталось $0$ ⇒ до 7-го озера было $2\cdot 0+1=1$.

• До 6-го озера было $2\cdot 1+1=3$.

• До 5-го озера было $2\cdot 3+1=7$.

• До 4-го озера было $2\cdot 7+1=15$.

• До 3-го озера было $2\cdot 15+1=31$.

• До 2-го озера было $2\cdot 31+1=63$.

• До 1-го озера было $2\cdot 63+1=127$.

Значит, всего летело 127 гусей.

Проверка на первом озере: садится $\frac{127}{2}+\frac{1}{2}=63{,}5+0{,}5=64$, улетает $127-64=63$ — целое число. Дальше аналогично: из 63 улетает 31, из 31 — 15, из 15 — 7, из 7 — 3, из 3 — 1, из 1 — 0.