Найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 1 \).

Рассмотрим функцию

1) Найдём критические точки

Вычислим производную:

Критические точки (где $f'(x)=0$):

2) Определим, где максимум, а где минимум

Посмотрим знак производной $f'(x)=3(x-2)(x-4)$:

• При $x<2$: $(x-2)<0$, $(x-4)<0$ ⇒ произведение $>0$ ⇒ $f'(x)>0$ ⇒ функция возрастает.

• При $2$: $(x-2)>0$, $(x-4)<0$ ⇒ произведение $<0$ ⇒ $f'(x)<0$ ⇒ функция убывает.

• При $x>4$: $(x-2)>0$, $(x-4)>0$ ⇒ произведение $>0$ ⇒ $f'(x)>0$ ⇒ функция возрастает.

Значит:

• в точке $x=2$ функция переходит от возрастания к убыванию ⇒ локальный максимум;

• в точке $x=4$ функция переходит от убывания к возрастанию ⇒ локальный минимум.

3) Найдём значения функции в этих точках

Ответ

• Наибольшее (локальный максимум) значение: $\boxed{19}$ при $\boxed{x=2}$.

• Наименьшее (локальный минимум) значение: $\boxed{15}$ при $\boxed{x=4}$.

Важно: как кубический многочлен на всей числовой прямой функция не имеет глобального наибольшего и глобального наименьшего значения (уходит к $+\infty$ при $x\to+\infty$ и к $-\infty$ при $x\to-\infty$). Здесь найдены именно экстремумы.