Найти котангенс, косинус, синус альфа, если тангенс равен 3 под корнем 0< альфа <Пи/2

Дано: $\tan\alpha = 3\sqrt{\,}$ (то есть $3\sqrt{\text{(какое-то число)}}$) и $0<\alpha$ (угол положительный). В таком виде условие записано не до конца: под корнем не указано число, поэтому нельзя получить конкретные численные значения $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\cot\alpha$.

Но можно правильно вывести формулы для общего случая, когда

1) Котангенс

2) Синус и косинус через тангенс

Используем тождество:

Тогда

Подставляем $\tan\alpha=3\sqrt{k}$:

Отсюда

Дальше $\sin\alpha = \tan\alpha\cdot\cos\alpha$:

3) Как выбрать знак

Знак зависит от четверти, то есть от диапазона $\alpha$:

• Если $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ (I четверть), то $\sin\alpha>0$, $\cos\alpha>0$:

  $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+9k}},\qquad \sin\alpha=\frac{3\sqrt{k}}{\sqrt{1+9k}}.$$

• Если $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ (II четверть), то $\sin\alpha>0$, $\cos\alpha<0$, но тогда $\tan\alpha<0$. А у нас $\tan\alpha=3\sqrt{k}>0$, значит II четверть не подходит.

• Если $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$ (III четверть), то $\sin\alpha<0$, $\cos\alpha<0$, и $\tan\alpha>0$