Сумма двух целых чисел равна 110, а разность их квадратов — простое число. Найдите эти числа.

Пусть два целых числа — это $x$ и $y$. Из условия задачи известно, что их сумма равна 110, то есть:

Также известно, что разность их квадратов — простое число. Разность квадратов можно выразить как разность произведений:

Подставим $x + y = 110$:

Так как разность квадратов — это простое число, то одно из множителей $(x - y)$ и $110$ должно быть равно 1, так как простое число может быть представлено только как произведение 1 и самого себя. Рассмотрим два возможных случая.

1. $x - y = 1$

В этом случае у нас есть система уравнений:

Сложим эти два уравнения:

Так как $x$ — нецелое число, этот вариант не подходит.

2. $x - y = 2$

Теперь рассмотрим, что $x - y = 2$. Тогда система уравнений будет:

Сложим эти два уравнения:

Теперь подставим $x = 56$ в уравнение $x + y = 110$:

Итак, $x = 56$ и $y = 54$.

Проверим, что разность их квадратов — простое число:

220 не является простым числом, следовательно, данный вариант также не подходит.