Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке: a) F(x) = cos²x, f(x) = sin2x, x принадлежит R

Чтобы доказать, что функция $F$ является первообразной для функции $f$ на указанном промежутке, нужно показать, что производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка. Здесь промежуток — вся числовая прямая, то есть $x \in \mathbb{R}$.

Дано:

1) Найдём производную $F(x)=\cos^2 x$.

Запишем $F(x)$ как квадрат функции:

Применим правило производной сложной функции (цепное правило): если $u(x)^2$, то $\frac{d}{dx}u^2 = 2u\cdot u'$.

Здесь $u(x)=\cos x$, тогда $u'(x)=-\sin x$. Получаем:

2) Сравним $F'(x)$ и $f(x)$.

Используем тригонометрическую формулу двойного угла:

Тогда

То есть

Но по условию

Следовательно,

Вывод:
Функция $F(x)=\cos^2 x$ не является первообразной для $f(x)=\sin 2x$ на $\mathbb{R}$, потому что

При этом можно отметить, какая связь верная:

• $F(x)=\cos^2 x$ является первообразной для функции $-\sin 2x$;

• первообразной для $f(x)=\sin 2x$ будет, например,

потому что $\left(-\frac12 \cos 2x\right)' = \sin 2x$.