Какие длины сторон может иметь прямоугольник площадью 36 квадратных сантиметров? В каком из этих случаев прямоугольник имеет наименьший периметр?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ (в сантиметрах). Тогда площадь

Какие длины сторон возможны

Если рассматривать все прямоугольники (не только с целыми сторонами), то возможны любые пары положительных чисел

То есть одна сторона может быть любой положительной длины $x$, а другая тогда обязана быть $36/x$.

Если же обычно в школьных задачах подразумеваются целые длины сторон, то надо перечислить все пары делителей числа 36:

(Пары вроде $(36,1)$ — это то же самое, просто стороны поменяны местами.)

Где периметр наименьший

Периметр прямоугольника:

Среди целочисленных пар

Посчитаем:

• $1\times 36$: $P=2(1+36)=74$

• $2\times 18$: $P=2(2+18)=40$

• $3\times 12$: $P=2(3+12)=30$

• $4\times 9$: $P=2(4+9)=26$

• $6\times 6$: $P=2(6+6)=24$

Минимальный периметр получается у прямоугольника $6\times 6$ (это квадрат): $P_{\min}=24$ см.

Если разрешены любые действительные длины

Тогда при фиксированной площади периметр минимален у квадрата, то есть при $a=b$. Из условия $ab=36$ получаем $a=b=6$. Значит, и в общем случае наименьший периметр у квадрата $6\times 6$: 24 см.