Решите неравенство x²-6x+5<0

Чтобы решить неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$, начнем с того, что перепишем его в более удобной форме. Мы имеем квадратное неравенство:

Шаг 1. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Здесь $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. Подставим значения в формулу:

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:

Подставляем значения:

Таким образом, корни уравнения:

Шаг 2. Исследуем знаки выражения $x^2 - 6x + 5$

Теперь, когда мы нашли корни уравнения $x = 1$ и $x = 5$, можем анализировать знак выражения $x^2 - 6x + 5$ на интервалах, определяемых этими корнями: $(-\infty, 1)$, $(1, 5)$, $(5, +\infty)$.

1. На интервале $(-\infty, 1)$

   Выберем точку, например, $x = 0$. Подставим в исходное выражение:

   $$0^2 - 6(0) + 5 = 5 > 0$$

   Значит, на интервале $(-\infty, 1)$ выражение положительно.

2. На интервале $(1, 5)$

   Выберем точку, например, $x = 3$. Подставим в исходное выражение:

   $$3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0$$

   Значит, на интервале $(1, 5)$ выражение отрицательно.

3. На интервале $(5, +\infty)$

   Выберем точку, например, $x = 6$. Подставим в исходное выражение:

   $$6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0$$

   Значит, на интервале $(5, +\infty)$ выражение положительно.

Шаг 3. Ответ

Неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется на интервалах:

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.