Решите неравенство (x-1)(x-3) < 0

Для решения неравенства $(x - 1)(x - 3) < 0$, следуем следующим шагам:

1. Определим корни квадратного выражения.
   Для этого приравняем правую часть неравенства к нулю:

   $$(x - 1)(x - 3) = 0$$

   Корни этого уравнения — это значения $x = 1$ и $x = 3$. Это точки, в которых произведение будет равно нулю.

2. Разобьем числовую прямую на интервалы.
   Полученные корни $x = 1$ и $x = 3$ делят числовую прямую на три интервала:

   • $(-\infty, 1)$

   • $(1, 3)$

   • $(3, +\infty)$

3. Проверим знак выражения на каждом интервале.
   Для этого подставим любое число из каждого интервала в выражение $(x - 1)(x - 3)$.

   • Для интервала $(-∞, 1)$ выберем, например, $x = 0$:

     $$(0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3 > 0$$

     Здесь выражение положительное.

   • Для интервала $(1, 3)$ выберем $x = 2$:

     $$(2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) = -1 < 0$$

     Здесь выражение отрицательное.

   • Для интервала $(3, +∞)$ выберем $x = 4$:

     $$(4 - 1)(4 - 3) = (3)(1) = 3 > 0$$

     Здесь выражение положительное.

4. Запишем решение.
   Нам нужно, чтобы выражение $(x - 1)(x - 3)$ было меньше нуля, то есть отрицательное. Мы видим, что на интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.

   Таким образом, решение неравенства:

   $$1 < x < 3$$

   Ответ: $x \in (1, 3)$.