Решите неравенство: (2x-3)(x+5)<0

Для решения неравенства $(2x - 3)(x + 5) > 0$, воспользуемся методом анализа знаков.

1. Найдем нули выражений, при которых произведение равно нулю:

   $$(2x - 3)(x + 5) = 0$$

   Это уравнение можно решить, приравняв каждый множитель к нулю:

   • $2x - 3 = 0$ → $x = \frac{3}{2}$

   • $x + 5 = 0$ → $x = -5$

   Таким образом, выражение равно нулю при $x = \frac{3}{2}$ и $x = -5$.

2. Теперь рассмотрим промежутки, на которые делится числовая ось из-за найденных корней: $(-\infty, -5)$, $(-5, \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

3. Анализируем знак произведения в каждом промежутке.

   • В интервале $(-\infty, -5)$, выберем тестовую точку, например $x = -6$:

     $$(2(-6) - 3)((-6) + 5) = (-12 - 3)(-6 + 5) = (-15)(-1) = 15 > 0$$

     То есть, на этом интервале выражение положительное.

   • В интервале $(-5, \frac{3}{2})$, выберем тестовую точку, например $x = 0$:

     $$(2(0) - 3)(0 + 5) = (-3)(5) = -15 < 0$$

     То есть, на этом интервале выражение отрицательное.

   • В интервале $(\frac{3}{2}, +\infty)$, выберем тестовую точку, например $x = 2$:

     $$(2(2) - 3)(2 + 5) = (4 - 3)(2 + 5) = (1)(7) = 7 > 0$$

     То есть, на этом интервале выражение положительное.

4. Исходя из этого, выражение $(2x - 3)(x + 5) > 0$ выполняется на промежутках $(-\infty, -5)$ и $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.